Vejamos:
As equipes A, B e C disputaram as finais de um torneio de futebol, jogando cada equipe contra as outras duas uma vez. Sabe-se que a equipe B ganhou da equipe A por 2×1; a equipe A marcou 3 gols; e cada equipe ficou com saldo de gols zero. As regras do torneio para a classificação final são, nessa ordem:
• maior número de vitórias;
• maior número de gols feitos;
• se as três equipes ficarem empatadas segundo os critérios anteriores, as três serão consideradas campeãs.
Se uma equipe for campeã ou 3ª colocada e as outras duas equipes ficarem empatadas segundo os critérios anteriores, será considerada mais bem colocada a equipe vencedora do confronto direto entre as duas.
A respeito dessa situação hipotética e considerando que os três critérios listados foram suficientes para definir a classificação final das três equipes, julgue os itens seguintes quanto aos valores lógicos das proposições apresentadas.
11. Se a equipe B fez 3 gols, então a equipe C foi campeã é uma proposição falsa.
Resolução:
Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade
Os jogos serão: A x B; A x C e B x C.
Do texto acima temos que:
A (1) x (2) B
Sabendo que a equipe A marcou 3 gols e que no jogo entre A e B ela fez 1 gol, então no jogo entre A e C, a equipe A fará mais 2 gols. E como as equipes devem ficar com saldo de gols zero, a equipe A deve sofrer mais 1 gol da equipe C para ficar com saldo zero, com isso:
A (2) x (1) C
Do jogo entre B e C sabemos apenas que, para ficarem com saldo zero, a equipe C deve vencer a equipe B por um gol de diferença, pois a equipe B tem 1 gol de saldo e a equipe C tem 1 gol negativo de saldo. Logo:
B (x) x (x + 1) C
Do enunciado da questão 11, se considerarmos a proposição: a equipe B fez 3 gols, como verdadeira (V) então no jogo B (x) x (x + 1) C, ficaria:
B (1) x (2) C (já que B fez 2 gols no jogo A x B)
Com isso temos o mesmo número de vitórias e o mesmo número de gols feitos para as três equipes:
A (1) x (2) B
A (2) x (1) C
B (1) x (2) C
Logo, as três são consideradas campeãs. E a proposição: a equipe C foi campeã será verdadeira (V).
Como as duas proposições que formam a condicional: Se a equipe B fez 3 gols, então a equipe C foi campeã, são verdadeiras, então ela será verdadeira!
Resp. Errado
12. A equipe B foi campeã e a equipe A ficou em último lugar é uma proposição falsa.
Resolução:
Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade
Bom, temos duas hipóteses aqui!
1ª hip.: B só é campeã se o resultado da partida entre B e C, for de B (1) x (2) C, como visto na questão 11. Caso em que as três equipes são campeãs, com isso a equipe A não fica em último. Então a conjunção (que para ser verdadeira deve ter as duas proposições que a formam verdadeiras) da questão 12 é falsa!
2ª hip.: Se na partida entre B e C forem marcados mais de 3 gols (3x2; 4x3;....), lembrando que a diferença deve ser de apenas 1 gol para manter o saldo de gols zero, então A ficaria em último lugar, por conta do número de gols marcados por B e C. Porém, B não poderia ser campeã, pois no confronto direto entre B e C, C vence B. Com isso C seria campeã e B ficaria em segundo. Então como temos uma proposição verdadeira e outra falsa, a conjunção da questão 12 é falsa também para esta hipótese!
Com isso, a conjunção da questão 12 é falsa!
Resp. Certo
13. O número de gols marcados pelas equipes nas finais foi maior que 6 é uma proposição verdadeira.
Resolução:
Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade
Sabemos que:
A (1) x (2) B
A (2) x (1) C
B (x) x (x + 1) C
A única possibilidade para esta proposição ser falsa é que a única partida de placar desconhecido: B (x) x (x + 1) C, tivesse como resultado: 0 x 0, o que não pode ocorrer pois o saldo de gols das equipes ficariam diferentes (e devem ser iguais). Portanto a proposição é sempre verdadeira!
Resp. Certo
14. Se a equipe A foi campeã então a equipe C foi campeã ou 2ª colocada é uma proposição falsa.
Resolução:
Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade
Como vimos na questão 12, o resultado do campeonato dependo da partida entre B e C, cujo placar é desconhecido. Com isso, sabemos que A só é campeã se o placar de B e C for B (1) x (2) C, caso em que B e C também são campeãs.
Com isso, representando a proposição simbolicamente, temos:
A = 1° à (C = 1° ou C = 2°)
Se A = 1° for considerada verdadeira (V), então C = 1° será verdadeira (V), com isso C = 1° ou C = 2° será verdadeira (V) também.
Como consideramos que A = 1° é (V) e achamos que C = 1° ou C = 2° é (V), então concluímos que a proposição A = 1° à (C = 1° ou C = 2°) é verdadeira!
Resp. Errado
15. A equipe A foi campeã ou a equipe C foi campeã é uma proposição verdadeira.
Resolução:
Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade
Como vimos na questão 12, a equipe B não poderá ser campeã sozinha, caso em que a proposição acima seria falsa, pois nem A nem C seriam campeãs. Com isso, teremos sempre uma das duas proposições acima verdadeiras! (A equipe A foi campeã / a equipe C foi campeã)
Logo, a proposição A equipe A foi campeã ou a equipe C foi campeã é uma proposição sempre verdadeira!
Resp. Certo
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Considerando que, para ocupar os dois cargos que compõem a diretoria de uma empresa, diretor e vice-diretor, existam 5 candidatos, julgue os itens subsequentes.
16. Se cada um dos candidatos for capaz de ocupar qualquer um dos dois cargos, o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual a 10.
Resolução:
Assunto: Análise combinatória (Arranjo)
Sabendo que uma pessoa não pode ocupar dois cargos, temos:
diretor . vice = 5 . 4 = 20 possíveis escolhas
Resp. Errado
17. Se, dos 5 candidatos, 2 concorrem apenas ao cargo de diretor e os demais, apenas ao cargo de vice-diretor, o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual 5.
Resolução:
Assunto: Análise combinatória (Arranjo)
diretor . vice = 2 . 3 = 6 possíveis escolhas
Resp. Errado
Esta prova foi resolvida pelo professor Oscar Queiroz. Para ver as outras questões desta prova resolvidas por ele clique aqui.
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