Aqui vai uma questão resolvida de Analise Combinatória do Concurso para o cargo de Analista Administrativo da Agência nacional de energia elétrica (Aneel). ESta questão goi elaborada pela Esaf.

Vejamos:

Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a
a) 85.
b) 220.
c) 210.
d) 120.
e) 150.

Resolução:

Primeiro deve-se determinar se a questão será resolvida por Princípio Fundamental da Contagem, Arranjo ou Combinação.

Como trata-se de um problema envolvendo pessoas, os elementos do subgrupo devem ser distintos. Portanto o principio fundamental da contagem  está descartado.

Teremos que decidir, então, entre Arranjo ou Combinação. Para isso, deve-se escolher um resultado, depois inverter a ordem dos componentes e verificar se isso altera o resultado. Caso altere, trabalharemos com Arranjo. Senão, será Combinação.

No nosso problema, teremos um possível grupo:

M11, M12, M13, M18, M19, M22

Invertendo a ordem dos elementos:

M12, M13, M11, M18, M22, M19.

Não há alteração, ou seja, o grupo continua sendo o mesmo! Por isso, resolveremos o problema por combinação.

Temos 12 candidatas, cada uma tem uma idade diferente, compreendida entre 11 e 22.
Temos que formar um grupo com 3 meninas com menos de 18 anos (que devem ser escolhidas entre M11, M12, M13... M17), 1 menina de 18 anos e o restante - 2 meninas - de mais de 18 (escolhidas entre M19, M20, M21 e M22).

Como temos categorias distintas (menores, 18 e maiores), "dividiremos" a questão em 3 e os resultados obtidos serão multiplicados, gerando assim o resultado final.

Menores de 18: Comb. de 7, 3 a 3, que dá 35 possibilidades.

18 anos: apenas 1 possibilidade

Maiores de 16: Comb. de 4, 2 a 2, que dá 6 possibilidades.

Como deveremos ter 3 menores E 1 de 18 E 2 maiores, multiplicamos (E sempre multiplica). Resultado: 210 possibilidades.

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Aqui estão algumas questões resolvidas do concurso da Agência nacional de Aviação(Anac). A prova foi elaborada pela Cespe.

Vejamos:

As equipes A, B e C disputaram as finais de um torneio de futebol, jogando cada equipe contra as outras duas uma vez. Sabe-se que a equipe B ganhou da equipe A por 2×1; a equipe A marcou 3 gols; e cada equipe ficou com saldo de gols zero. As regras do torneio para a classificação final são, nessa ordem:

• maior número de vitórias;
• maior número de gols feitos;
• se as três equipes ficarem empatadas segundo os critérios anteriores, as três serão consideradas campeãs.

Se uma equipe for campeã ou 3ª colocada e as outras duas equipes ficarem empatadas segundo os critérios anteriores, será considerada mais bem colocada a equipe vencedora do confronto direto entre as duas.

A respeito dessa situação hipotética e considerando que os três critérios listados foram suficientes para definir a classificação final das três equipes, julgue os itens seguintes quanto aos valores lógicos das proposições apresentadas.

11. Se a equipe B fez 3 gols, então a equipe C foi campeã é uma proposição falsa.




Resolução:

Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade

Os jogos serão: A x B; A x C e B x C.

Do texto acima temos que:
A (1) x (2) B

Sabendo que a equipe A marcou 3 gols e que no jogo entre A e B ela fez 1 gol, então no jogo entre A e C, a equipe A fará mais 2 gols. E como as equipes devem ficar com saldo de gols zero, a equipe A deve sofrer mais 1 gol da equipe C para ficar com saldo zero, com isso:
A (2) x (1) C

Do jogo entre B e C sabemos apenas que, para ficarem com saldo zero, a equipe C deve vencer a equipe B por um gol de diferença, pois a equipe B tem 1 gol de saldo e a equipe C tem 1 gol negativo de saldo. Logo:
B (x) x (x + 1) C

Do enunciado da questão 11, se considerarmos a proposição: a equipe B fez 3 gols, como verdadeira (V) então no jogo B (x) x (x + 1) C, ficaria:

B (1) x (2) C (já que B fez 2 gols no jogo A x B)

Com isso temos o mesmo número de vitórias e o mesmo número de gols feitos para as três equipes:
A (1) x (2) B
A (2) x (1) C
B (1) x (2) C

Logo, as três são consideradas campeãs. E a proposição: a equipe C foi campeã será verdadeira (V).

Como as duas proposições que formam a condicional: Se a equipe B fez 3 gols, então a equipe C foi campeã, são verdadeiras, então ela será verdadeira!

Resp. Errado


12. A equipe B foi campeã e a equipe A ficou em último lugar é uma proposição falsa.

Resolução:

Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade

Bom, temos duas hipóteses aqui!

1ª hip.: B só é campeã se o resultado da partida entre B e C, for de B (1) x (2) C, como visto na questão 11. Caso em que as três equipes são campeãs, com isso a equipe A não fica em último. Então a conjunção (que para ser verdadeira deve ter as duas proposições que a formam verdadeiras) da questão 12 é falsa!

2ª hip.: Se na partida entre B e C forem marcados mais de 3 gols (3x2; 4x3;....), lembrando que a diferença deve ser de apenas 1 gol para manter o saldo de gols zero, então A ficaria em último lugar, por conta do número de gols marcados por B e C. Porém, B não poderia ser campeã, pois no confronto direto entre B e C, C vence B. Com isso C seria campeã e B ficaria em segundo. Então como temos uma proposição verdadeira e outra falsa, a conjunção da questão 12 é falsa também para esta hipótese!

Com isso, a conjunção da questão 12 é falsa!

Resp. Certo

13. O número de gols marcados pelas equipes nas finais foi maior que 6 é uma proposição verdadeira.

Resolução:

Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade

Sabemos que:
A (1) x (2) B

A (2) x (1) C

B (x) x (x + 1) C

A única possibilidade para esta proposição ser falsa é que a única partida de placar desconhecido: B (x) x (x + 1) C, tivesse como resultado: 0 x 0, o que não pode ocorrer pois o saldo de gols das equipes ficariam diferentes (e devem ser iguais). Portanto a proposição é sempre verdadeira!

Resp. Certo


14. Se a equipe A foi campeã então a equipe C foi campeã ou 2ª colocada é uma proposição falsa.

Resolução:

Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade

Como vimos na questão 12, o resultado do campeonato dependo da partida entre B e C, cujo placar é desconhecido. Com isso, sabemos que A só é campeã se o placar de B e C for B (1) x (2) C, caso em que B e C também são campeãs.

Com isso, representando a proposição simbolicamente, temos:
A = 1° à (C = 1° ou C = 2°)

Se A = 1° for considerada verdadeira (V), então C = 1° será verdadeira (V), com isso C = 1° ou C = 2° será verdadeira (V) também.

Como consideramos que A = 1° é (V) e achamos que C = 1° ou C = 2° é (V), então concluímos que a proposição A = 1° à (C = 1° ou C = 2°) é verdadeira!

Resp. Errado


15. A equipe A foi campeã ou a equipe C foi campeã é uma proposição verdadeira.

Resolução:

Assunto: Estruturas lógicas / tabelas-verdade

Como vimos na questão 12, a equipe B não poderá ser campeã sozinha, caso em que a proposição acima seria falsa, pois nem A nem C seriam campeãs. Com isso, teremos sempre uma das duas proposições acima verdadeiras! (A equipe A foi campeã / a equipe C foi campeã)

Logo, a proposição A equipe A foi campeã ou a equipe C foi campeã é uma proposição sempre verdadeira!

Resp. Certo

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Considerando que, para ocupar os dois cargos que compõem a diretoria de uma empresa, diretor e vice-diretor, existam 5 candidatos, julgue os itens subsequentes.

16. Se cada um dos candidatos for capaz de ocupar qualquer um dos dois cargos, o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual a 10.

Resolução:

Assunto: Análise combinatória (Arranjo)

Sabendo que uma pessoa não pode ocupar dois cargos, temos:
diretor . vice = 5 . 4 = 20 possíveis escolhas


Resp. Errado


17. Se, dos 5 candidatos, 2 concorrem apenas ao cargo de diretor e os demais, apenas ao cargo de vice-diretor, o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual 5.

Resolução:

Assunto: Análise combinatória (Arranjo)

diretor . vice = 2 . 3 = 6 possíveis escolhas


Resp. Errado


Esta prova foi resolvida pelo professor Oscar Queiroz. Para ver as outras questões desta prova resolvidas por ele clique aqui.

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Iniciando aqui o blog temos questões de Analise Combinatória do Concurso da Prefetura municipal de Teresina para o Cargo Agente Fiscal de Tributos Municipais. A prova foi elaborada pela Cespe e se encontra disponível aqui.

Vejamos:

Uma ouvidoria é composta por 11 profissionais, assim distribuídos: 1 ouvidor-geral, 3 técnicos, 2 digitadores e 5 auxiliares. Então:

1) Há exatamente 238 maneiras distintas de se constituir uma comissao formada por 4 profissionais da Ouvidoria, de modo que essa comissao contenha, no máximo, um tecnico.
2) O CEP é formado de 8 digitos (5 de prefixo e 3 de sufixo). A quantidade de sufixos que podem ser formados de modo a conterem, no maximo, dois digitos repetidos é inferior´a 950.

3) E igual 5! o numero de sequencias de caracteres distintos com 5 letras que podem ser formadas com as letras da palavra INTERNET.

 Resoluções: 

1) Há exatamente 238 maneiras distintas de se constituir uma comissao formada por 4 profissionais da Ouvidoria, de modo que essa comissao contenha, no máximo, um tecnico. (C)

0 técnico + 4 de outras áreas ----> C8,4 = 8.7.6.5/4.3.2.1 = 70
1 técnico + 3 de outras áreas. ---> C3,1.C8,3 = 3.8.7.6/3.2.1 = 168
Logo, o total é 70 + 168 = 238

2) O CEP é formado de 8 digitos (5 de prefixo e 3 de sufixo). A quantidade de sufixos que podem ser formados de modo a conterem, no maximo, dois digitos repetidos é inferior´a 950. (E)

exemplo de um CEP: ítem certo e não E

87015-320
320 é o sufixo (Em gramática, sufixo é um afixo que se adiciona ao final de um morfema ou palavra), então: 10*10*9 = 900


3) É igual 5! o número de sequências de caracteres distintos com 5 letras que podem ser formadas com as letras da palavra INTERNET. (E) C certo também

Existem: 8*7*6*5*4 = 6720 caracteres possíveis onde podemos ter uma letra repetida (tt), duas letras repetidas (ee, nn), logo tirando as letras (ee,nn,tt) repetidas fora é possível formar:

(8 - 3)! = 5! de caracteres distintos com 5 letras

VE8DMKN3FNJA

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